permalink

Zadania z szybkości

1.Julek ma trening o siedemnastej. O której godzinie najpóźniej musi wyjść z domu, aby dotrzeć na miejsce 15 minut przed treningiem, jeżeli ma do przebycia 14 km. Średnia szybkość z którą jedzie autobus o tej porze dnia wynosi 35 km/h.

$\\ s=14 km\\ v_{śr}=35 km/h\\ t_{k(końcowe)}=17:00\\ t=16:45\\ t_{p(początkowe)}=?\\v=\frac{s}{t} \Longrightarrow t=\frac{s}{v}\\ t=\frac{14km}{35\frac{km}{h}}=0,4h\\ 0,4h*\frac{60min}{1h}=24min\\ t_p=t-0:24=16:21\\$

2.Gośka i Ewa umówiły się na godzinę piętnastą na rowery w parku. Gośka kończy swoje zajęcia o 14.15, a Ewa 20 minut później. Z jaką minimalną średnią szybkością musiałaby jechać na rowerze każda z nich, żeby zdążyć, jeżeli Gośka ma do przebycia odległość 7 km, a Ewka 3 km.

$\\ t=15:00\\ t_G=15:00-14:15=45min=3/4h\\ t_E=15:00-14:35=25min=0,41(6)h\\ s_G=7km\\ s_E=3km\\ v_G=?\\ v_E=?\\ v=\frac{s}{t}\\ v_G=\frac{s_G}{t_G}=9,(3)km/h\\ v_E=\frac{s_E}{t_E}=7,2km/h\\$

3.W czasie pierwszych 30 minut kierowca jedzie autostradą z Krakowa do Chrzanowa ze średnią szybkością 95 km/h. Następnie zjeżdża z autostrady i przez kolejne 45 minut porusza się ze średnią szybkością 45 km/h. Oblicz średnią szybkość kierowcy na całej trasie.

$\\ t_1=0,5h\\ v_1=95km/h\\ t_2=3/4h\\ v_2=45km/h\\ v_{śr}=?\\ v=\frac{s}{t}\\ v_{śr}=\frac{t_1*v_1+t_2*v_2}{t_1+t_2}=\frac{0,5h*95km/h+0,75h*45km/h}{1,25h}=\frac{47,5km+33,75km}{1,25h}=65km/h\\$

4.Rowerzysta przez półtorej godziny treningu jedzie ze średnią szybkością 12 m/s, a kolejne 6 km przebywa w czasie 10 minut. Oblicz średnią szybkość rowerzysty w czasie całego treningu.

$\\ v_1=12m/s=43,2km/h\\ t_1=1,5h\\ s_2=6km\\ t_2=1/6h\\ v_{śr}=?\\ v_2=?\\ v_2=\frac{s_2}{t_2}\\ v_{śr}=\frac{t_1*v_1+t_2*v_2}{t_1+t_2}=\frac{t_1*v_1+t_2*\frac{s_2}{t_2}}{t_1+t_2}=\frac{1,5h*43,2km/h+6km}{1,5h+0,1(6)h}=\frac{70,8km}{1,(6)h}\approx42,5km/h\\$

5.Pierwsze cztery okrążenia o długośći 400 m każde lekkoatleta przebiega w czasie 4 min i 20 sekund, kolejne trzy i pół okrążenia w czasie 6 minut, a ostatnie 200 m przebiega z szybkością 8 m/s. Oblicz średnią szybkość lekkoatlety.

$\\ l=400m\\ s_1=4l=1600m\\ t_1=4min 20s=260s\\ s_2=3,5l=1400m\\ t_2=6min=360s\\ s_3=200m\\ v_3=8m/s\\\\ v_{śr}=?\\ v=\frac{s}{t}\Longrightarrow t=\frac{s}{v}\\ t_3=\frac{s_3}{v_3}=\frac{200m}{8m/s}\\\\ v_{śr}=\frac{s_1+s_2+s_3}{t_1+t_2+t_3}=\frac{1600m+1400m+200m}{260s+360s+25s}=\frac{3200m}{645s}\approx5m/s\\\\$

6.Elka codziennie biega. Oblicz jej średnią szybkość, wiedząć, że pierwszą połowę drogi przebiega z szybkością 2,4 m/s, a drugą połowę z szybkością 1,2 m/s.

$\\ v_1=2,4m/s\\ v_2=1,2m/s\\ v_{śr}=?\\ s_1=s_2=s\\ v=\frac{s}{t}\Longrightarrow t=\frac{s}{v}\\ t_1=\frac{s}{v_1}\\ t_2=\frac{s}{v_2}\\\\ v_{śr}=\frac{s_1+s_2}{t_1+t_2}=\frac{s+s}{\frac{s}{v_1}+\frac{s}{v_2}}=\frac{2s}{\frac{s*v_2+s*v_1}{v_1*v_2}}=\frac{2s(v_1*v_2)}{s(v_1+v_2)}=\frac{2(2,4\frac{m}{s}*1,2\frac{m}{s})}{3,6\frac{m}{s}}=\frac{5,76\frac{m}{s}}{3,6}=1,6\frac{m}{s}\\$

7.Oblicz średnią szybkość kierowcy na trasie Kraków-Sandomierz, wiedząć, że przez pierwszą połowę czasu poruszał się on ze średnią szybkością 50 km/h, a przez drugą połowę ze średnią szybkością 80 km/h.

$\\ v_1=50km/h\\ v_2=80km/h\\ t_1=t_2=t\\ v_{śr}=?\\ v=\frac{s}{t}\Longrightarrow s=v*t\\ s_1=v_1*t\\ s_2=v_2*t\\\\ v=\frac{s_1+s_2}{t_1+t_2}=\frac{v_1*t+v_2*t}{t+t}=\frac{t(v_1+v_2)}{2t}=\frac{50km/h+80 km/h}{2}=65km/h\\$

8.Pierwszą połowę drogi z Krakowa do Krościenka bus przebywa ze średnią szybkością 30 km/h, drugą połowę ze średnią szybkością 60 km/h. W drodze powrotnej przeez pierwszą połowę czasu porusza się ze średnią szybkością 80 km/h, a przez drugą połowę czasu, ze średnią szybkością 60 km/h. Oblicz średnie szybkości busa na trasach:

a) z Krakowa do Krościenka

b) z Krościenka do Krakowa

c) z Krakowa do Krościenka i z powrotem

$\\ v_1=30km/h\\ v_2=60km/h\\ v_3=80km/h\\ v_4=60km/h\\\\ s_1=s_2=s\\ t_3=t_4=t\\\\ t_1=\frac{s}{v_1}\\ t_2=\frac{s}{v_2}\\\\ s_3=t*v_3\\ s_4=t*v_4\\\\ v=\frac{s}{t}\Longrightarrow t=\frac{s}{v} \Longrightarrow s=v*t\\\\ a) v_{śr.1}=\frac{s+s}{\frac{s}{v_1}+\frac{s}{v_2}}=\frac{2s}{\frac{s*v_2+s*v_1}{v_1*v_2}}=\frac{2s(v_1*v_2)}{s(v_1+v_2)}=\frac{2(30km/h*60km/h}{90km/h}=\frac{3600km/h}{90}=40km/h\\\\ b) v_{śr.2}=\frac{s_3+s_4}{t_3+t_4}=\frac{t*v_3+t*v_4}{t+t}=\frac{v_3+v_4}{2}=70km/h\\\\ c) s_{12}=s_{34}=s_5 (=2*s)\\\\ t_{12}=\frac{s_5}{v_{śr.1}}\\ t_{34}=\frac{s_5}{v_{śr.2}}\\\\ v_{śr}=\frac{s_5+s_5}{t_{12}+t_{34}}=\frac{2s_5}{\frac{s_5*v_{śr.1}+s_5*v_{śr.2}}{v_{śr.1}*v_{śr.2}}}=\frac{2(v_{śr.1}*v_{śr.2})}{v_{śr.1}+v_{śr.2}}=\frac{2(40km/h*70km/h}{40km/h+70km/h}=\frac{5600km/h}{110}\approx50,9km/h\\$

9.Średnia szybkość motocyklisty na całej drodze była równa 30 m/s. Jeżeli 1/3 drogi przebył z szybkością 2 razy większą niż pozostałe 2/3 drogi, to z jaką szybkością średnią przebył każdy z tych odcinków?

$\\ v_{śr}=30m/s\\ v_1=2v_2\\ 2s_1=s_2\\\\ v=\frac{s}{t}\Longrightarrow t=\frac{s}{v}\\\\ t_1=\frac{s_1}{v_1}\longrightarrow \frac{s_1}{2v_2}=\frac{1}{2}\frac{s_1}{v_2}\\ t_2=\frac{s_2}{v_2}\longrightarrow \frac{2s_1}{v_2}=2\frac{s_1}{v_2}\\\\ 4t_1=t_2\\\\ v_{śr}=\frac{s_1+s_2}{t_1+t_2}=\frac{s_1+2s_1}{t_1+4t_1}=\frac{3s_1}{5t_1}\\\\ \frac{3}{5}v_1=30m/s\\ v_1=50m/s\\ v_2=\frac{50m/s}{2}=25m/s\\$

10.Motocyklista całą trasę przebył się ze średnią szybkością 90 km/h. Oblicz, z jaką średnią szybkością poruszał się w pierwszej połowie czasu ruchu, jeżeli jego średnia szybkość była wówczas trzy razy mniejsza niż w drugiej połowie czasu.

$\\ v_{śr}=90km/h\\ t_1=t_2\\ 3v_1=v_2\\ v_1=?\\\\ v=\frac{s}{t}\Longrightarrow s=v*t\\\\ v_{śr}=\frac{s_1+s_2}{t_1+t_2}=\frac{v_1t_1+v_2t_2}{t_1+t_2}=\frac{v_1t_1+v_2t_1}{t_1+t_1}=\frac{t_1(v_1+v_2)}{2t_1}=\frac{v_1+v_2}{2}=\frac{v_1+3v_1}{2}=2v_1\\\\ 2v_1=90km/h\\ v_1=45km/h\\$

11.Marysia wyszła z domu do sklepu oddalonego o 300m. W sklepie zorientowała się, że nie wzięła portfela, więc musiała wrócić do domu. Oblicz średnią szybkości wartość średniej prędkości dziewczynki, jeżeli od jej wyjścia z domu do jej powrotu minęło 10 minut.

$\\ \frac{1}{2}s=300m\\ s=600m\\ t=10min=600s\\ v_{śr}=\frac{600m}{600s}=1m/s\\$

12.Dla młodzieży przygotowano tor gokartowy w kształcie okręgu o promieniu 12 m. Oblicz:

a) średnią szybkość i wartość średniej prędkości zawodnika, który przebył dziesięć pełnych okrążeń w czsie 75,36 s;

b) wartość średniej prędkości zawodnika po czasie odpowiednio równym: 1/4 okresu (czyli czasu, w którym zawodnik wykonuje jedno pełne okrążenie), 1/2 okresu, 1/6 okresu.

$\\ r=12m\\ O=2\pi r\\ a) v_{śr}=?\\ |\vec{v_{śr}}|=?\\ s=10*O=10*2\pi r\approx 20*3,14*12m\approx 753,6m\\ t=75,36s\\ v_{śr}=\frac{s}{t}=\frac{753,6m}{75,36s}=10m/s\\ |\vec{v_{śr}}|=0\\\\ b) T=1\10*t=7,536s\\ t_1=1/4*T\\ t_2=1/2*T\\ t_3=1/6*T\\\\ v_1=?\\ v_2=?\\ v_3=?\\\\ s_1=r\sqrt{2} \\ s_2=2r \\ s_3=r \\\\ v_1=\frac{s_1}{t_1}=\frac{r\sqrt{2}}{1/4*T}=\frac{12m*\sqrt{2}}{1/4*7,536s}\approx 9m/s\\ v_2=\frac{s_2}{t_2}=\frac{2r}{1/2*T}=\frac{12m*2}{1/2*7,536s}\approx 6,4m/s\\ v_3=\frac{s_3}{t_3}=\frac{r}{1/6*T}=\frac{12m}{1/6*7,536s}\approx 9,6m/s\\$

15. Pies przebiegł po trawniku z punktu $P$ do punktu $K$ w czasie 14 sekund. Tor jego ruchu przedstawia odcinek $PK$ na wykresie $y(x)$ .

a) Rozstrzygnij, czy na podstawie wykresu można wyciągnąć wniosek jakim rodzajem ruchu poruszał się pies.

b) Oblicz drogę przebytą przez psa.

Mając dodatkową informację, że ruch psa był ruchem jednostajnym, oblicz:
c) jego szybkość,

d) współrzędne $v_x$ i $v_y$ jego prędkości.

$t=14s \\$

a) Nie można, ponieważ mógł on przyspieszać, zwalniać, zatrzymywać się, itp. Wiemy jedynie, że poruszał się ruchem prostoliniowym.

$\\ s^2=15^2+20^2\\ s=\sqrt{225+400}=25m\\\\$

$v = \frac{s}{t} = \frac{25m}{14s} \approx1,4m/s \\\\$

d) korzystamy z tw. Talesa

$\\ \frac{s}{y} = \frac{v}{v_y} \longrightarrow v_y = \frac{v*y}{s} = \frac{1,8m/s*15m}{25m} \approx1,1m/s\\\\$

$\frac{s}{y} = \frac{v}{v_y} \longrightarrow v_y = \frac{v*y}{s} = \frac{1,8m/s*20m}{25m} \approx1,4m/s\\\\ \\$

$\vec{v_y}\approx-1,1m/s \\$

(wektor skierowany jest w dół osi)

$\\ \vec{v_x}\approx1,4m/s\\$

18.Młoda foka, widząc orkę w odległości 50 m za sobą, zaczyna uciekać z szybkością 43,2 $km/h$ . Orka płynie w jej kierunku z szybkością 50,4 $km/h$ . Napisz równania ruchu foki i orki, przyjmując, że dla orki $x_0=0$ . Następnie wykonaj polecenia:

a) Oblicz czas, po którym orka dogoni fokę.

b) Oblicz współrzędną miejsca spotkania zwierząt

$\\ v_f=43,2km/h=12m/s\\ v_o=50,4km/h=14m/s\\ x_{o.0}=0\\ x_{f.0}=50m\\$

ogólne równanie ruchu dla ruchu jednostajnego prostoliniowego to

$\\ x(t)=x_0+v*t\\\\ x_o(t)=14m/s*t\\ x_f(t)=50m+12m/s*t\\$

$\\ x_o(t)=x_f(t)\\ t=?\\\\ 14m/s*t=50m+12m/s*t\\ 14m/s*t-12m/s*t=50m\\ t(14m/s-12m/s)=50m\\$

$\\ t=\frac{50m}{2m/s}=25s\\$

$\\ x=?\\ x(t)=14m/s*25s=350m\\$

20.Dwaj kajakarze poruszają się wzdłuż tej samej prostej. Pierwszy zaczyna ruch z miejsca oznaczonego napisem START i płynie przez pierwsze 25 sekund z szybkością 3 $m/s$ , a następnie z szybkością 2 $m/s$ . Drugi kajakarz płynie z szybkością 3,5 $m/s$ , ale wyrusza z miejsca położonego 15 metrów za tym puunktem i o 16 sekund później od chwili startu pierwszego sportowca. Oblicz, kiedy i gdzdie, licząc od punktu startu, zawodnicy się spotkają.

$\\ t_{1.1}=25s\\ v_{1.1}=3m/s\\ v_{1.2}=2m/s\\\\ x_{2.0}=15m\\ v_2=3,5m/s\\ t_{2.0}=16s\\\\ 25s-16s=9s\\$

gdy pierwszy jest w 25 sekundzie ruchu, drugi jest w 9s

$\\\\ t=?\\ x=?\\ x_{1.1}(t_{1.1})=x_{1.1}(25s)=3m/s*25s=75m\\$

$x_{2.1}(9s)=-15m+3,5m/s*9s=16,5m\\$

W t=25s od chwili startu zawodnika 1 znajduje się on w położeniu $x_{1.1}=75m$ , a zawodnik 2 będzie w $x_{2.1}=16,5m$ .

$\\\\$

Można to dla ułatwienia liczyć jako drugi start obu z nich. Wówczas równania ruchu dla obu z nich wyglądają następująco:

$\\ x_{1.2}(t)=75m+2m/s*t\\ x_{2.2}(t)=16,5m+3,5m/s*t\\\\ x_{1.2}(t)=x_{2.2}(t)\\ 75m+2m/s*t=16,5m+3,5m/s*t\\ 3,5m/s*t-2m/s*t=75m-16,5m\\ t*1,5m=58,5m\\ t=39s\\\\$

Ostateczny czas to 25s+39s=64s od startu pierwszego zawodnika.

$\\\\$

$x=75m+2m/s*39s=75m+78m=153m\\$

21. Gepard, poruszając się ruchem jednostajnie przyspieszonym z szybkością początkową równą zeru, w czasie 12 sekund przebywa drogę 216 m. Oblicz wartość przyspieszenia geparda i szybkość, którą osiągnie po tym czasie. Wyraź szybkość w km/h.

$\\ v_0=0\\ t=12s\\ s=216m\\\\ a=?\\ v_k=?\\\\ v_k=v_0+a*t\\ s=v_0*t+\frac{a*t^2}{2}\longrightarrow a=\frac{2*s}{t^2}=\frac{432m}{144s^2}=3m/s^2\\ v_k=3m/s^2*12s=36m/s=129,6km/h \\$

22. Samocód ciężarowy porusza się ruchem jednostajnie przyspieszonym z przyspieszeniem o wartości 0,8 $m/s^2$ . Oblicz, po jakim czasie samochód osiągnie szybkość 64,8 $km/h$ oraz drogę, którą przebędzie w tym czasie, jeżeli prędkość początkowa wynosi zero.

$\\ a=0,8m/s^2\\ v_k=64,8km/h=18m/s\\ v_0=0\\\\ t=?\\ s=?\\\\ v_k=v_0+a*t \longrightarrow t=\frac{v_k}{a}=\frac{18m/s}{0,8m/s^2}=22,5s\\\\ s=v_0*t+\frac{a*t^2}{2}\\$

$s=\frac{0,8m/s*506,25s^2}{2}=202,5m\\ \\$

Tagged under: czas, szybkość