Dynamika bryły sztywnej

Dynamika bryły sztywnej to jeden z elementarnych działów fizyki, dowiedz się więcej na temat jej kluczowych zagadnień.

Dynamika bryły sztywnej wzory i analiza

Bryła sztywna – ciało, którego punkty nie przemieszczają się względem siebie.

W ruchu obrotowym bryły sztywnej każdy punkt bryły zatacza okrąg o środku leżącym na osi obrotu bryły.

Odległość punktu od osi obrotu (oznaczane jako r) - to najkrótszy odcinek łączący punkt i oś obrotu.

Δm – masa elementarna = punkt materialny
r – odległość punktu od osi obrotu

v₁ = ω·r₁ … v_n = ω·r_n

Każdy punkt bryły ma tę samą prędkość kątowa ω i różną prędkość liniową v.

Moment bezwładności – suma iloczynów mas elementarnych i kwadratu ich odległości od osi obrotu, zależna od osi obrotu.

I = Δm₁·r₁² + Δm₂·r₂² + ... + Δm_n·r_n²

[I] = 1 kg·m²

Im dalej jest rozłożona masa bryły od osi obrotu, tym większy jest moment bezwładności.

 

Momenty bezwładności przykładowych brył:

• kula: I = 2/5·mR²,R – promień kuli
• sfera: I = 2/3·mR²
• walec: I = 1/2·mR²
• rury cienkościennej: I = mR²
• pręt, którego oś obrotu przechodzi przez środek jego długości: I = 1/12·mL² (L – długość pręta)
• pręt, którego oś obrotu przechodzi przez jeden z jego końców: I = 1/3·mL²

 

---

 

 Porównanie ruchu postępowego i ruchu obrotowego

 

Ruch postępowy	Ruch obrotowy	Wzory łączące
m	I [I] = 1 kg·m²
v	ω [ω] = 1 rad/s	v = ω × r
Ek = mv²/2	Ek = Iω²/2
a = vk – v0 /t	ε [ε] = 1 rad/s²	a = ε×r ε = Δω/Δt
p = m·v	L = I·ω L – moment pędu [L] = 1 kg·m²/s	L = r × p
F = m·a	M = I·ε M – moment siły [M] = 1 N·m	M = r × F

 

---

 Zasady dynamiki dla ruchu obrotowego bryły sztywnej

I zasada dynamiki:

Jeżeli wypadkowy moment siły M działający na ciało jest równy zero, to prędkość kątowa ω ciała jest stała lub równa zero.

Uogólnienie I zasady dynamiki:

Jeżeli wypadkowy moment siły M działający na ciało jest równy zero, to moment pędu L ciała jest stały.

II zasada dynamiki Newtona:

Jeżeli wypadkowy moment siły M działający na ciało nie jest równy zero, to ciało porusza się z przyspieszeniem kątowym równym ε = M/I.

Uogólnienie II zasady dynamiki:

Zmiana momentu pędu ciała jest równa

Δk=M·t

---

Twierdzenie Steinera

I = I₀ + md²

I₀ – moment bezwładności względem osi przechodzącej przez środek masy
I – moment bezwładności względem osi równoległej do pierwszej osi
d – odległość między osiami
m – masa bryły

---

 

Zasada zachowania momentu pędu

Moment pędu bryły w układzie inercjalnym pozostaje stały, gdy nie działa na nią żaden moment siły zewnętrznej.

I_ω = const

I₁ω₁ = I₂ω₂

Zasadę wykorzystują np. łyżwiarze robiąc piruet. Gdy łyżwiarka ma rozłożone ręce obraca się powoli, kiedy z kolei składa ręce blisko siebie, obraca się znacząco szybciej. Dzieje się tak dlatego, że moment bezwładności łyżwiarki przy składaniu rąk maleje, musi więc rosnąć prędkość kątowa.