Zadania z elektryczności

1.1

Oblicz natężenie prądu wytworzonego przez elektron krążący z częstotliwością 45 $MHz$ na pierwszej orbicie w atomie wodoru. Ładunek elektronu jest równy $1,602 * 10^{-19}C$ .

$\\ q =1,602 * 10^{-19}C \\ f = 45 * 10^6Hz = \frac{1}{t} \\ J = ? \\ t = \frac{1}{f} = \frac{1}{45*10^6Hz} = 0,0(2) * 10^{-6}s \approx 2,2*10^{-8} s \\ J = \frac{\Delta q}{\Delta t} = \frac{1,602 * 10^{-19}C}{2,2 * 10^{-8}s} \approx 7,28 * 10^{-12} \\\\$

1.2

Poniższe wykresy przedstawiają zależność o czasu natężenia prądu przepływającego przez przekrój poprzeczny przewodnika. W każdym przypadku oblicz przybliżoną liczbę elektronów, które przepłynęły przez przekrój poprzeczny przewodnika w czasie 20 sekund.

$\\ J = \frac{Q}{t} \rightarrow Q = J * t \\ n = \frac{Q}{q_e} \\ q_e = 1,602 * 10^{-15} \\ A = \frac{C}{s} \\ Q_1 = 6 * 10^{-3} \frac{C}{s} * 20 = 120 *10^{-3}C = 0,12C \\ Q_2 \frac{1}{2} * 4 * 10^{-3}\frac{C}{s} * 5s + \frac{1}{2} * 4 * 10^{-3}\frac{C}{s} * 15s = 10^{-2}C + 3 * 10^{-2}C = 4 * 10^{-2}C \\ Q_3 = 2 * 4 * 10^{-3}\frac{C}{s} * 5s = 4 * 10^{-2}C \\ n_1 = \frac{Q_1}{q_e} = \frac{0,12C}{1,602*10^{-19}C} \approx 7,49 * 10^17 \\ n_2 = \frac{Q_1}{q_e} = \frac{4 * 10^{-2}C}{1,602*10^{-19}C} \approx 2,5 * 10^17 \\ n_3 = \frac{Q_3}{q_e} = \frac{Q_2}{q_e} = n_2 = 2,5 * 10^17 \\\\$

1.3

Wykres przedstawia zależność ładunku elektrycznego przepływającego przez pewien przewodnik od czasul Na jego podstawie oblicz natężenie prądu płynącego w tym przewodniku,

$\\ I = \frac{q}{t} = \frac{6 * 10^{-3}C}{6 * 10^{-3}s} = 1A \\\\$

1.4

Działko elektronowe jest źródłem strumienia elektronów. Oblicz masę elektronów wypływających z działka w czasie $2s$ , jeżeli natężenie prądu elektronów z działka wynosi $8,01 * 10^{-6}A$ .

Do obliczeń przyjmij, że stosunek $\frac{e}{m_e} = 1,76^{11}\frac{C}{kg}$ .

$\\ t = 2s \\ I = 8,01 * 10^{-6}A \\ m_e = ? \\ I = \frac{q}{t} \rightarrow q = I * t\\ \frac{e}{m_e} = 1,76 * 10^{11}\frac{C}{K} \rightarrow m_e = \frac{I * t}{1,76 * 10^{11}\frac{C}{K}} = \frac{0,1 * 10^{-6}\frac{C}{s} * 2s}{1,76 * 10^{11}\frac{C}{kg}} = 9,1 * 10^{-17}kg \\\\$

1.5

Przewodnik o oporze $360\ohm$ włączono do źródła napięcia $9V$ . Oblicz czas w którym przez przewodnik przepłynął ładunek $45C$ .

$\\ R = 360\ohm \\ U = 9V \\ q = 45C \\ t = ? \\ R = \frac{U}{I} \rightarrow I = \frac{U}{R} \\ I = \frac{q}{t} \rightarrow \frac{q}{I} = \frac{q * R}{U} = \frac{45C * 369\ohm}{9V} = 1800s = 0,5h \\$
Działania na jednostkach:
$\\ V = \frac{kg * m^2}{A * s^3}\\ \ohm = \frac{V}{A} = \frac{kg * m^2}{A^2 * s^3} \\ C = A*s\\ \frac{A * s * \frac{kg * m^2}{A^2 * s^3}}{\frac{kg * m^2}{A * s^3}} = s \\\\$

1.6

Przez przewodnik o oporze $4\ohm$ płynie prąd o natęrzeniu $2mA$ . Oblicz wartość natężenia pola elektrycznego w tym przewodniku. jeżeli jego długość wynosi $2cm$ . Pole przekroju poprzecznego przewodnika jest na całej długości jednakowe.

$\\ R = 4\ohm \\ I = 2 * 10^{-3}A \\ d = 2 * 10^{-2}m \\ S = constant \\ E = ? \\ E = \frac{U}{d} = \frac{R * I}{d} = \frac{4\ohm * 2 * 10^{-3}A}{2 * 10^{-2}m} = 0,4\frac{V}{m} \\$
Działnie na jednostkach:
$\\ \ohm = \frac{V}{A} \\ \frac{\frac{V}{A}*A}{m} = \frac{V}{m} \\\\$

1.7

Opór kawałka drutu wynosi $R$ . Oblicz opór drugiego kawałka drutu wykonanego z tego samego materiału, ale o średnicy trzy razy mniejszej i dwa razy większej długości.

$\\ R_1 \leftarrow wiadoma \\ R_2 = ? \\ 2 * l_1 = l_2 \\ r_1 = 3 * r_2 \\ R_1 = g * \frac{l_1}{s_1} \\ R_2 = g * \frac{l_2}{s_2} \\ R = \frac{U}{I} \\ R = g * \frac{l}{s} \\ s_1 = \pi * 9 {r_2}^2 = 9s_2 \\ s_1 = 9s_2 \\ R_2 = g * \frac{2 * l_1}{\frac{1}{9} * s_1} = 18 * R_1 \\\\$

1.8

Opór elektryczny włókna wolframowego żarówki rozgrzanego do temperatury $3200K$ wynosi $854\ohm$ , a jego długość $6cm$ . Oblicz średnicę włókna, jeżeli opór właściwy wolframu w tej temperaturze jest równy $99,6 * 10^{-8}\ohm m$ .

$\\ T = 3200K \\ R = 854 \ohm \\ l = 0,06m \\ R_{wł} = 99,6 * 10^{-8}\ohm m \\ 2 * r = ? \\ R = R_{wł} * \frac{l}{s} \rightarrow s = R_{wł} * \frac{l}{R} \\ s = \pi * r^2 \rightarrow r = \sqrt{\frac{s}{\pi}} \\ 2 * r = 2 * \sqrt{\frac{s}{\pi}} = 2 * \sqrt{\frac{R_{wł} * \frac{l}{R}}{\pi}} = 2 \sqrt{\frac{99,6 * 10^{-8}\ohm m * \frac{0,06m}{854\ohm}}{\pi}} \approx 9,4 * 10^{-6}m \\ \\\\$

1.9

Do wykonania przewodów elektrycznych wykorzystano drut z miedzi o całkowitym oporzer $6\ohm$ i masie $398,72kg$ . Oblicz, jak długi będzie przewód elektryczny z tego drutu. Przyjmij, że opór właściwy miedzi wynosi $1,68 * 10^{-8}\ohm m$ , a jej gęstoś jest równa $8900\frac{kg}{m^3}$ .

$\\ R = 6\ohm \\ m = 398,72kg \\ R_{wł} = 1,68 * 10^{-8}\ohm m \\ g = 8900\frac{kg}{m^3} \\ l = ? \\ g = \frac{m}{V} \\ V = l * \pi * r^2 \rightarrow S = \frac{V}{l} \rightarrow S = \frac{m}{g * C} \\ R = R_{wł} * \frac{l}{S} \\ l = \frac{R*S}{R_{wł}} = \frac{R * m}{g * l * R_{wł}} \\ l^2 = \frac{R * m}{g * R_{wł}} \\ l = \sqrt{\frac{R * m}{g * R_{wł}}} = \sqrt{\frac{6\ohm * 398,72kg}{8900\frac{kg}{m^3} * 1,68 * 10^{-8}\ohm m}} = 3954,6 \approx 4km \\\\$

1.10

Do końców miedzianego przewodnika o masie $32kg$ i średnicy $0,8mm$ przyłożono napięcie $1,4V$ . Oblicz natężenie prądu, który popłynie w przewodniku, jeżeli opór właściwy miedzi wynosi $1,68 * 10^{-8}\ohm m$ , a jej gęstoś jest równa $8900\frac{kg}{m^3}$ . Przyjmij, że $\pi^2 \approx 10$ .

$\\ m = 32 kg \\ r = 4 * 10^{-4}m \\ U = 1,4V \\ R_{wł} = 1,68 * 10^{-8}\ohm m \\ g = 8900 \frac{kg}{m^3} \\ \pi^2 \approx 10 \\ I =? \\ R = \frac{U}{I} \rightarrow I = \frac{U}{R} \\R = R_{wł} * \frac{l}{s} \\ g = \frac{m}{l*s} \rightarrow l= \frac{m}{g * \pi * r^2} \\ S = \pi * r^2 \\ I = \frac{U}{R_{wł} * \frac{l}{s}} = \frac{U * \pi * r^2 * g}{R_{wł} * \frac{m}{g * \pi * r^2}} = \frac{U *(\pi * r^2) *g}{R_{wł} * m} = \frac{ 1,4V * 10 * (4 * 10^{-4}m)^4 * 8900\frac{kg}{m^3}}{1,68 * 10^{-8}\ohm m * 32kg} \approx 5,9 * 10^{-3}A \\\\$
Działania na jednostkach:
$\\ \ohm = \frac{V}{A} \\ \frac{V * m^4 *kg}{\ohm * m * kg * m^3} = \frac{V * A}{V} = A \\\\$

1.11

Pręt aluminium o gęstości $2700\frac{kg}{m^3}$ i oporze właściwym $2.8 * 10^-8 \ohm m$ ma osiem razy mniejszy opór od oporu pręta z grafitu o gęstości $2200\frac{kg}{m^3}$ i oporze właściwym $2 * 10^-5 \ohm m$ . Oblicz, ile razy dłuższy jest pręt z aluminium, jeżeli ich masy są jednakowe.

$\\ q_1=2700\frac{kg}{m^3} \\ R_{wł_1} = 2.8 * 10^-8 \ohm m \\ q_2 = 2200 \frac{kg}{m^3} \\ R_{wł_2} = 2 * 10^-5 \ohm m \\ m_1 = m_2 \\ R_1 = R_2 \\ \frac{l_1}{l_2} = X \\ R = R_{wł} = \frac{l}{s} \\ v = \frac{m}{s} \\ v = l * s \\ S = \frac{v}{l} = \frac{m}{q*l} \\ R = R_{wł} * \frac{l*q*l}{m} \rightarrow{l^2} = \frac{R*m}{R_{wt}*q} \\ l_1 = \sqrt{\frac{R_1*m}{R_{wł_1}*q_1}} \\ l_2 = \sqrt{\frac{R_2*m}{R_{wł_2}*q_2}} \\ X = \frac{l_1}{l_2} = \sqrt{\frac{\frac{R_1*{m}}{R_{wł_{1}}*q_1}}{\frac{R_2*{m}}{R_{wł_2}*q_2}}} = \sqrt{\frac{R_1*R{wł_2}*q_2}{8R_1*R{wł_1}*q_1}} = \sqrt{\frac{2*10^{-5}\ohm m * 2200 \frac{kg}{m^3}}{8 * 2,8 * 10^{-8}\ohm m * 2700 \frac{kg}{m^3}}} = \sqrt{\frac{2*10^3*22}{8*2,8*27}} \approx8,53 \\\\$

1.12

Wykres przedstawia zależność natężenia prądu płynącego przez przewodnik o długości $4dm$ od natężenia pola elektrycznego w tym przewodniku.

Na jego podstawie oblicz opór przeodnika, wiedząć, że przewodnik ma wszędzie jednakową średnicę.

$\\ d = 0,4m \\ R = ? \\ r = const. \\ U = E * d \\ R = \frac{U}{I} \\ R = \frac{E * d}{I} = \frac{40\frac{V}{m} * 0,4m}{0,8A} = 20\ohm \\\\$

1.14

Przez przewodnik z miedzi o oporze właściwym $1,68 * 10^{-8} \ohm m$ i promieniu przekroju $0,75mm$ płynie prąd o natężeniu $20A$ . Oblicz długość tego przewodnika, jeżeli w czasie jednej sekundy oddaje on do otoczenia $1075,2J$ energii.

$\\ l = ? \\ R_{wł} = 1,68 * 10^{-8} \ohm m \\ U = I * R \\ R = R_{wł} * \frac{l}{s} \\ R = \frac{U}{I} \\ W = E * q * l \\ U = E * l \rightarrow W = U * q \\ I = \frac{q}{t} \rightarrow q = I*t \\ r = 0,75 * 10^[-]m \\ I = 20A \\ S = \pi r^2 \\ t = 1s \\ W = \Delta E_{pot} = 1075,2 J \\ W = I * R_{wł} * \frac{l}{\pi r^2} * q \\ W = I^2 * R_{wł} * \frac{l}{\pi r^2} * t \\ l = \frac{W * \pi r^2}{I^2 * R_{wł} * t} = \frac{1075,2J * \pi *(7,5 * 10^{-4}m)}{(20A)^2 * 1,68 * 10^{-8}\ohm m * 1s} \approx 282,74m \\\\$
Działania na jednostkach:
$\\\\ J = N * m \\ N = \frac{kg * m}{s^2} \\ V = \frac{kg * m^2}{A * s^3} \\ \frac{J * m^2}{A^2 * \ohm m *s} = \frac{N * m^2}{A * V *s} = \frac{kg *\frac{m^3}{s^2}}{A * V *s} = \frac{kg * m^3}{A * \frac{kg * m^2}{A * s^3} * s^3} = m \\\\$

1.15

Oblicz, ile ciepła przekaże wodzie czajnik elektryczny o mocy 2 $kW$ dołączony do źródła o napięciu $230V$ w czasie 1,5 min. Straty grzałki czajnika szacuje się na $25\%$ .

$\\ W = ? \\ P = 2000W \\ U = 230V \\ t = 90s \\ \eta = 100\% - 25\% = 75\% \\ W = P * t * \eta \\ W = 2000W * 90s * 75\% = 135 000 J = 135 kJ \\\\$

1.16

Przez uzwojenie silnika lokomotywy płynie prąd o natężeniu $229A$ . Lokomotywa wraz z całym składem porusza się z szybkością $90\frac{km}{h}$ , a jej siła ciągu wynosi $22kN$ . Oblicz napięcie, które zasila silnik lokomotywy, jeśli $80\%$ energii elektrycznej zamienione zostaje na pracę silnika.

$\\ U = ? \\ P = U * I \rightarrow U =\frac{P}{I} \\ W = P * t * \eta \rightarrow P = \frac{W}{t * \eta} \\ W = F * d \\ V = \frac{d}{t} \\ U = \frac{W}{I * t * \eta} = \frac{F * d}{I * t * \eta} = \frac{F * v}{I * \eta} = \frac{2200N *25\frac{m}{s}}{229A * 0,8} = 3002,18 V \approx 3kV \\\\$
Działania na jednostkach:
$\\ \frac{N * m}{A * s} = \frac{kg * \frac{m^2}{s^2}}{A*s} = \frac{kg * m^2}{A * s^3} = V \\\\$

1.17

Za pomocą dzwigu podnoszono ruchem jednostajnym betonową płytę o gęstości $2500\frac{kg}{m^3}$ i wymiarach $300cm$ x $130cm$ x $18cm$ . Straty energii podczas podnoszenia płyty wynoszą około $25%$ . Oblicz wartość prędkości, z którą podnoszono płytę, jeżeli przy napięciu zasilającym $500V$ przez silnik płynął prąd o natężeniu $20A$ .

$\\ v = ? \\ q = 2500\frac{kg}{m^3} \\ v = \frac{d}{t} \\ W = p * t * \eta \rightarrow t = \frac{W}{p * \eta} \\ P = U * I \\ W = F * d = g * m * d \\ m = q * V \\$
Wymiary: $0,3m$ x $1,3m$ x $0,18m$
$\\ V = 3m * 1,3m * 0,18m = 0,702 m^3 \\ \eta = 0,75 \\ U = 500V \\ I = 20A \\ v = \frac{d * p * \eta}{W} = \frac{d * U * I * \eta}{g * m * d} = \frac{U * I *\eta}{g * q *V} = \frac{500V * 20A * 0.75}{10\frac{m}{s^2} * 2500\frac{kg}{m^3} * 0,702 m^3} \approx 0,4 \frac{m}{s} \\$
Działania na jednostkach:
$\\ \frac{V*A}{\frac{m}{s^2} * \frac{kg}{m^3} * m^3} = \frac{kg * m^2}{A * s^3} = \frac{m}{s} \\\\$

1.18

Za pomocą grzałki elektrycznej w czasie $91s$ zagotowano pół litra wody, której temperatura początkowa wynosiła $20\celsius$ . Oblicz moc grzałki, jeżeli jej sprawność wynosi $92\%$ . Ciepło właściwe wody jest równe 4200\frac{J}{kgK}.

$\\ P = ? \\ W = P * t * \eta\\ P = \frac{W}{t * \eta}\\ W = m * C_w * \Delta T\\ t = 91s \\ m = 0,5kg \\ T_0 = 20\celsius = 293 K \\ T_K = 100\celsius = 373 K \\ \Delta T = 80\celsius \\ \eta = 0,92 \\ C_w = 4200 \frac{J}{kg * K} \\ P = \frac{m * C_w * \Delta T}{t * \eta} = \frac{0,5kg *4200\frac{J}{kg * K} * 80K}{91s * 0,92} \approx 2000W = 2kW \\ \\$
Działania na jednostkach:
$\\ W = \frac{J}{s} \\\\$

1.19

Kontener o masie 1,2 tony wciągano ruchem jednostajnym z szybkością $4\frac{m}{s}$ po równi pochyłej za pomocą silnika elektrycznego.

Silnik elektryczny połączono z kontenerem nierozciągliwą liną, którą przerzucono przez nieruchomy blok. Oblicz sprawność silnika, jeżeli jego moc jest równa $40kW$ Przyjmij, że współczynnik tarcia kontenera o równię wynosi 0,2.

$\\ \eta = ? \\ m = 1200 kg \\ F_g = m * g = 12kN \\ v = 4 \frac{m}{s} \\ \alpha = 30\degree \\ P = 40kW \\ f = 0,2 \\ F_N = \sin{\alpha} * F_g + f * F_g *\cos{\alpha} \\ W = P * t * \eta \rightarrow \eta = \frac{W}{P * t} \\ W = F_N * d \\ \eta = \frac{F_N * d}{P * t} = \frac{F_g * (\sin{\alpha} + f * \cos{\alpha}) * N}{P} = \frac{12kN * (\sin{30\degree} + 0,2 * \cos{30\degree}) * 4\frac{m}{s}}{40kW} = \frac{12 * (\frac{1}{2} + \frac{1}{5} * \frac{\sqrt{3}}{2}) * 4}{40} \approx 0,81 \\ \\$
Działania na jednostkach:
$\\ \frac{N * \frac{m}{s}}{W} = \frac{N * m}{\frac{ J * s}{s}} = \frac{N * m}{N * m} \\\\$

1.20

Oblicz opory zastępcze poniższych układów odbiorników.

a)
$\\ R = 7\ohm \\ \frac{1}{R_1} = \frac{1}{7\ohm} + \frac{1}{7\ohm} \\ R_1 = \frac{7}{2}\ohm = 3,5\ohm \\ R_2 = R_1 + R = 10,5 \ohm \\ \frac{1}{R_3} = \frac{1}{14\ohm} + \frac{1}{10,5\ohm} = \frac{1,5}{21\ohm} + \frac{2}{21\ohm} = \frac{3,5}{21\ohm} \\ R_3 = \frac{21\ohm}{3,5} = 6\ohm \\ R_z = 6\ohm + 7\ohm = 13\ohm \\ \\$
b)
$\\ R = 3\ohm \\ \frac{1}{R_1} = \frac{1}{9} + \frac{1}{3} = \frac{4}{9}\ohm \\ R_1 = \frac{9}{4} \ohm \\ \frac{1}{R_2} = \frac{4}{33}\ohm \\ R_2 = \frac{33}{4}\ohm \\ \frac{1}{R_3} = \frac{4}{33}\ohm + \frac{1}{3}\ohm = \frac{4}{33}\ohm + \frac{11}{33}\ohm = \frac{15}{33}\ohm \\ R_z = \frac{33}{15}\ohm + 3\ohm = \frac{(45 + 33)\ohm}{15} = \frac{78}{15}\ohm = 5,2 \ohm \\$
c)
$\\ R = 4\ohm \\ \frac{1}{R_z} = \frac{1}{8}\ohm + \frac{1}{8}\ohm + \frac{1}{4}\ohm = \frac{1}{2}\ohm \\ R_z = 2\ohm \\$
d)
$\\ \frac{1}{R_1} = \frac{1}{5,5}\ohm + \frac{1}{11}\ohm = \frac{3}{11}\ohm \\ R_1 = \frac{11}{3}\ohm \\ R_2 = \frac{11}{3}\ohm + \frac{11}{2}\ohm = \frac{22}{6}\ohm + \frac{33}{6}\ohm = \frac{55}{6}\ohm \\ \frac{1}{R_3} = \frac{1}{R_2} + \frac{1}{11}\ohm = \frac{6}{55}\ohm + \frac{5}{55}\ohm = \frac{11}{55}\ohm \\ R_3 = 5\ohm \\ R_z = 5,5\ohm + 5\ohm = 10,5\ohm \\$
e)
$\\ R = 6\ohm \\ \frac{1}{R_z} = \frac{1}{18\ohm} + \frac{1}{18\ohm} = \frac{1}{9\ohm} \\ R_z = 9\ohm \\$
f)
$\\ R = 7\ohm \\ \frac{1}{R_1} = \frac{1}{14\ohm} + \frac{1}{21\ohm} = \frac{1,5}{21\ohm}= \frac{5}{42\ohm} \\ R_1 = \frac{42}{5}\ohm = 8,4\ohm R_2 = R_1 +14\ohm = 22,4\ohm \\ \frac{1}{R_z} = \frac{1}{R_2} + \frac{1}{7}\ohm = \frac{1}{22,4\ohm} + \frac{1}{7\ohm} = 0,1875\frac{1}{\ohm} \\ R_z = 5,(3)\ohm = \frac{16}{3}\ohm \\\\$

Tagged under: elektryczność, obwód, opór, zadania