Hipersześcian – poznaj tajemnicę legendarnej bryły

Hipersześcian to najprościej mówiąc, uogólnienie sześcianu w dowolnej liczbie wymiarów. Bez względu na to, czy mówimy o jednym, dwóch, trzech, czy więcej wymiarach. Konkretnie, gdy mamy 0 wymiarów, interpretujemy go jako punkt, gdy jeden – odcinek, gdy 2 – kwadrat, a w trzech jest dobrze nam znanym sześcianem. W czterech wymiarach nazywamy go oktachoronem lub tesseraktem. Nazwę tej bryły w każdym innym wymiarze można utworzyć z kombinacji greckiego liczebnika i końcówki „-rakt”, czyli penterakt byłby nazwą pięciowymiarowego hipersześcianu

Hipersześcian a matematyczne koncepcje.

Nasze uwięzienie w trójwymiarowym świecie oraz matematyczne koncepcje, które przekraczają jego granice, inspirowały wielu twórców. Hipersześcian jest jedną z nich. Jego kształt ma paryski Grande Arche, na krzyżu w kształcie siatki tej figury został ukrzyżowany Chrystus na obrazie Salvadora Dali. W produkcji Avengers ta bryła była nieskończonym źródłem energii, a w Interstellar bohater trafia do jej wnętrza przez czarną dziurę. Jak zatem możemy opisać tę fascynującą figurę?

Skoro jest to matematyczna koncepcja, to znane są zależności ją opisujące. Przyjmijmy literkę „a” jako długość boku hipersześcianu, a „n” jako liczbę jego wymiarów. Jak zatem możemy policzyć jego objętość? Wyrazimy ją wzorem an. Co może nam przypominać znany ze szkoły wzór na objętość sześcianu – a3- i bardzo słusznie. Każdy hipersześcian będzie miał 2n wierzchołków (Czy pamiętasz ze szkoły, że sześcian miał 8 wierzchołków? Wszystko się zgadza!), a jego pole wyrazimy wzorem 2n*an-1. W taką bryłę możemy również wpisać (lub opisać) hiperkulę. W pierwszym przypadku jej promień będzie równy połowie boku hipersześcianu, w drugim opiszemy go wzorem . A czym właściwie jest hiperkula? To bardzo podobny koncept do hipersześcianu, gdyż to również jest uogólnienie znanej nam bryły na dowolną liczbę wymiarów, z tym że, jak sama nazwa mówi, rozpatrujemy kulę. Wyznaczenie objętości hiperkuli wymaga jednak zaawansowanego aparatu matematycznego, dokładnie całkowania.

Co łączy hipersześcian i superszybkie maszyny obliczeniowe?

Odpowiedź na to pytanie jest bardzo prosta. Na podstawie hipersześcianu bowiem udało się opracować architekturę niektórych superkomputerów. Przykładem jest tu seria Intel iPSC (skrót od Personal Super Computer). Wydano w niej trzy maszyny o potężnej mocy obliczeniowej. Rozbudowywanie ich było bardzo proste – w zależności od tego, ile procesorów miało mieć ze sobą połączenie, dokładano po prostu kolejny moduł. Dlaczego w ogóle realizowano w nich ten matematyczny model? Mając do dyspozycji wiele procesorów, ciężko by było połączyć je ze sobą bezpośrednio. Przykładowo, protoplasta serii Intela, Cosmic Cube z 1981 roku używał do obliczeń 64 komputerów. Gdyby każdy był połączony z każdym bezpośrednio, potrzeba by było 4096 połączeń! Dlatego zastosowano model hipersześcianu, konkretnie sześciowymiarowego. W ten sposób, procesor umieszczony w hipotetycznym wierzchołku ma bezpośrednie połączenie tylko z sześcioma jednostkami, co redukuje liczbę wymaganych połączeń do 384.

Pierwszy model Intela, iPSC/1 umożliwiał wzajemne połączenie od 32 do 128 procesorów. W tym celu każdy węzeł sieci posiadał osiem portów sieciowych (7 do komunikacji między sąsiadującymi węzłami, jeden służył do komunikacji z układem kontrolnym). Każda z kolejnych edycji tego superkomputera, mimo że nie oferowała więcej węzłów, to przesyłała dane szybciej, a także miała większą pamięć. Transportowanie informacji w architekturze hipersześcianu było bardzo wydajne oraz (przynajmniej teoretycznie) można było to łatwo analizować, z uwagi na to, że odległość między procesorami była stała i niewielka. Niestety rzeczywistość nie wyglądała tak optymistycznie, jak założenia. W praktyce ciężko było zrealizować nawet zmniejszoną liczbę połączeń. Dla ciekawskich: wzór opisujący ich ilość to n*2n, gdzie n to wcześniej wspominana liczba wymiarów bryły.

Najszybszy superkomputer w Polsce

Dlatego dziś superkomputery tworzy się za pomocą klastrów, w których mamy połączone ze sobą jednostki centralne. Do klastrów możemy dodawać kolejne procesory w nieskończoność, nie musząc się martwić o zmiany w reszcie naszego systemu. Z kolei użytkownik końcowy może korzystać z niego jak ze zwykłego komputera, w ogóle nie orientując się, że ma do czynienia z wieloma połączonymi jednostkami. Ciekawostką jest, że najszybszym klastrem obecnym w Polsce jest superkomputer Prometheus, działający na Akademii Górniczo-Hutniczej w Krakowie. Na rok 2017, maszyna ta zajmowała 77. miejsce w światowym rankingu superkomputerów.

Inne bryły wielowymiarowe niż hipersześcian

W artykule wspomnieliśmy wcześniej o hiperkuli. Czy istnieją zatem inne wielowymiarowe bryły? Oczywiście, że tak, choć nie są tak popularne, jak ta tytułowa. Wyróżniamy także hipersferę, która jest przełożeniem zwykłej sfery na wiele wymiarów. Zawiera ona zestaw punktów, które są jednakowo odległe od jej środka. W naszym trójwymiarowym świecie byłaby po prostu powierzchnią kuli. Mamy także hiperprostokąty, hiperpowierzchnie i hiperpłaszczyzny. Na koniec tego artykułu, warto odpowiedzieć na jeszcze jedno pytanie. Czy rozpatrywanie wielowymiarowych płaszczyzn jest do czegoś użyteczne? Otóż w zaawansowanych obliczeniach matematycy bardzo często stosują takie przestrzenie. Nie jest to zatem tylko fantastyczna ciekawostka.