Fale dźwiękowe w fizyce i naukowa geneza muzyki jako fali akustycznej

Fale dźwiękowe to między innymi muzyka. Czy zastanawiałeś się kiedyś, jak to się dzieje, że słyszymy? Jest to możliwe dzięki rozchodzeniu się w powietrzu fal dźwiękowych. Tytułowe pojęcie jest odmiennie definiowane przez różnych autorów. Możemy je interpretować jako dowolną falę mechaniczną, która jest podłużna, bez względu na jej słyszalność, lub zaliczać do nich tylko takie, które powodują dźwięki, a pozostałe nazywać akustycznymi. W tym artykule będziemy omawiać tylko te, które może usłyszeć człowiek. Są to takie fale, których częstotliwość mieści się w przedziale od ok. 16 Hz do 20 000 Hz, przy czym wraz z wiekiem coraz gorzej słyszymy dźwięki o wysokich częstotliwościach. Przypomnijmy sobie także, czym jest fala mechaniczna. Jest to zaburzenie ośrodka, które w przeciwieństwie do fal elektromagnetycznych, może się rozchodzić tylko w materialnym ośrodku. Nie doświadczymy jej więc w próżni. Określmy także pozostałe pojęcia, które są niezbędne do opisu tego zjawiska.

Po pierwsze, jak nazwiemy przedmiot, z którego wydobywa się dźwięk? Nasz magnetofon czy sprzęt Hi-Fi z powodzeniem możemy nazwać źródłem punktowym. Wysyła ono fale dźwiękowe we wszystkie strony, a kierunek ich rozchodzenia wyznaczają dwie rzeczy – ich czoło oraz promienie. Czoło fali to powierzchnia, na której drgania powietrza spowodowane falą mają taką samą fazę. Co to znaczy? Mówiąc o tej samej fazie fali, mamy na myśli część okresu, w której się znajduje. Z kolei promień fali jest prostopadłą linią do jej czoła i ma za zadanie wskazać kierunek jego ruchu. A jak wygląda fala w zależności od tego, jak daleko znajduje się od źródła? To bardzo proste – kiedy jest blisko niego, rozprzestrzenia się we wszystkich trzech wymiarach. Jednak gdy się już oddali, zakrzywienie czół fali znacząco maleje. Wtedy falę dźwiękową możemy nazwać płaską.

Fale dźwiękowe – prędkość, przemieszczenie i interferencja

Przyjrzyjmy się jej własnościom. Jako pierwszą weźmiemy pod uwagę prędkość. Ogólnie rzecz biorąc, tę wartość dla każdej fali mechanicznej (a właśnie taką jest fala dźwiękowa) określają zarówno sprężystość, jak i bezwładność ośrodka, w którym się rozchodzi. Dokładnie, jest ona równa pierwiastkowi z ilorazu jego sprężystości i gęstości. Ta druga wartość jest stosunkowo prosta do obliczenia, lecz może być nieco myląca. Dlaczego? Jak wiadomo, powietrze jest około tysiąca razy gęstsze niż woda. Moglibyśmy zatem przypuszczać, że dźwięk rozchodzi się w nim dużo szybciej. Jednakże jest zupełnie inaczej, gdyż prędkość dźwięku w wodzie jest ponad czterokrotnością jego prędkości w powietrzu. Nie zwróciliśmy jednak uwagi na licznik naszego ułamka. Jak go wyznaczyć? Otóż jest to moduł ściśliwości, czyli wielkość określająca stosunek wywartego na ośrodek ciśnienia do zmiany jego objętości. Teraz widzimy przyczynę tej dysproporcji – woda jest dużo mniej ściśliwa niż powietrze.

A jak się przemieszcza fala dźwiękowa? Jej drgania, popychające co raz to nowe cząsteczki powietrza powodują jej sinusoidalne przemieszczenie. Skoro tak, możemy je opisać jedną z dwóch funkcji o takim wykresie. Jeśli zdecydujemy się na cosinusa, przemieszczenie wyrazimy następującym wzorem: s = sm * cos(kx – ωt), gdzie sm to maksymalne przemieszczenie warstwy powietrza, k to liczba falowa, ω (małe omega) oznacza częstość kątową a t – badany czas. Liczbę falową stosujemy tu dla uproszczenia równania i może być ona równa ilorazowi 2π i długości fali lub stosunkowi częstości fali i jej prędkości. Ciśnienie powietrza (lub innego ośrodka, w którym rozchodzi się fala), również zmienia się sinusoidalnie. Tym razem do jego opisu użyjemy funkcji sinus: p = pm*sin(kx – ωt), gdzie pm to największy spowodowany przez falę wzrost (lub spadek) ciśnienia. Fachowo nazwiemy go amplitudą zmian ciśnienia. Pozostałe symbole literowe oznaczają to samo, co w poprzednim wzorze.

Fale dźwiękowe – interferencja

Większość fal poddaje się zjawisku interferencji i dotyczy to także fal dźwiękowych. Załóżmy, że emitujemy takie dwie fale z różnych źródeł punktowych. Są one w jednakowej fazie i mają taką samą długość oraz kierunek. Gdyby fale przebyły dokładnie taką samą drogę, to po osiągnięciu punktu końcowego, dalej miałyby taką samą fazę. W rzeczywistych sytuacjach jest jednak zgoła inaczej. Fale nie zawsze przebędą taką samą drogę, a to od niej silnie zależy zmiana fazy po dotarciu do wskazanego miejsca. Jeżeli fale będą przesunięte o całkowitą wielokrotność swojej długości, to jest o ƛ, 2ƛ, 3ƛ itd. to zajdzie całkowicie konstruktywna interferencja, czyli taka, wskutek której fala się wzmocni. Z kolei, jeśli będą przesunięte o 0,5ƛ, 2,5ƛ, 3,5ƛ itd. to będziemy mieć do czynienia z całkowicie destruktywną interferencją. W takim przypadku nastąpi jej wygaszenie. Oczywiście, różnica dróg, którą przebyły fale, może przybierać dowolne wartości, wtedy zakłócenia mają pośrednią intensywność.

Fale dźwiękowe – natężenie i głośność

Opisywaliśmy teraz typowo fizyczne właściwości fal dźwiękowych. A co z tym, co dla zwyczajnego człowieka jest w dźwiękach najistotniejsze, na przykład głośności? Jak dobrze wiemy, wyrażamy ją w decybelach. Nie wszyscy jednak są świadomi, iż jest to wartość logarytmowana. Wszakże ludzkie ucho jest w stanie odebrać szerokie rozpiętości fal dźwiękowych – od 10-11 m dla ledwo słyszalnych szeptów do 10-5 m, kiedy to odbieramy najgłośniejszy do zniesienia dźwięk. Tak duży zakres niewygodnie byłoby opisać w zwyczajny sposób. Wreszcie, jak ją dokładnie wyrażamy? Będzie ona równa 10*log(I/I0), gdzie I0 to standardowe natężenie odniesienia, które jest równe 10-12 W/m2. Odpowiada ono najcichszym dźwiękom, jakie jesteśmy w stanie usłyszeć. Przyjmuje się, że w domu średni poziom dźwięku wynosi 40 dB, a głośność pracującego odkurzacza wynosi 60 dB. Zatem uruchamiając to urządzenie, natężenie dźwięku w naszym otoczeniu zwiększa się aż stokrotnie!

Teraz pora na opisanie natężenia dźwięku. Jest ono ilorazem jego mocy i pola powierzchni, na którą pada. Kiedy wiemy, jaką moc ma nasz odtwarzacz, wtedy nieskomplikowane stanie się dla nas przewidywanie natężenia. Znając kilka wielkości fizycznych, możemy je także wyznaczyć bez znajomości mocy. Natężenie jest bowiem wprost proporcjonalne do gęstości ośrodka, w którym przemieszcza się fala oraz jej prędkości. Istotna jest także jej częstość oraz maksymalne odchylenie powietrza. Oczywiste jest, że dźwięki stają się cichsze w miarę tego, jak oddalamy się od ich źródła. Warto zadać sobie pytanie, czy wiemy, jak to opisać. Otóż warto wiedzieć, że natężenie dźwięku jest odwrotnie proporcjonalne do kwadratu odległości od źródła. Dokładnie opisuje to następujący wzór: I = P/4πr2, gdzie P to szybkość emisji energii przez źródło dźwięku. Nie bez kozery zatem istnieją wszystkie prośby o niesłuchanie głośno muzyki przez słuchawki dokanałowe. Już niewielkie oddalenie źródła dźwięku od naszych receptorów przyniesie im zdecydowaną ulgę.

Rola fal dźwiękowych w powstawaniu muzyki

Udzielimy odpowiedzi na to pytanie w być może mało romantycznym stylu, gdyż spojrzymy na ten dylemat również z punktu widzenia fizyki. W zależności od tego, jakim instrumentem dysponujemy, źródłem trafiających do naszych uszu tonów mogą być wszelakie drgające ciała – czy to struny, czy membrany, klocki z drewna bądź metalowe płytki, a nawet słupy powietrza. Przykładowo, kiedy gramy na gitarze, poruszamy jej strunami. W ten sposób wytwarzamy falę stojącą, która powoduje, że struna drga z dużą i dość trwałą amplitudą. Wtedy będzie popychała powietrze, przez co zostanie wygenerowana fala o większym natężeniu.

A jak organista w kościele tworzy muzykę? Organy mają wypełnione powietrzem rurki, w których fale dźwiękowe mogą biec tam i z powrotem, także, jeśli rura ta nie jest zamknięta na końcu. Wtedy fala również się odbije, aczkolwiek nie całkowicie. Zadaniem konstruktorów tego instrumentu jest dopasowanie długości tych przestrzeni do długości fal, tak, aby biegnąc przez rurę, mogły się na siebie nałożyć i utworzyć falę stojącą. Jednocześnie jej długość odpowiada częstotliwości rezonansowej rury. Przypomnijmy, jest to taka częstotliwość, przy której amplituda drgań jest największa. W taki sposób powietrze będzie intensywnie drgało, a fala będzie regularnie emitowana z każdego otwartego końca rurki. A jak możemy wyrazić częstości rezonansowe takich przyrządów? Jeśli będą miały oba otwarte końce, pożądana częstotliwość będzie równa ilorazowi dwukrotności długości rury oraz dowolnej liczby naturalnej, począwszy od 1. A co, gdy mamy jeden koniec zamknięty? Wtedy poszukiwaną wartość wyrażamy jako stosunek czterokrotności długości fali i kolejnych liczb nieparzystych.

Rozmiar instrumentu a fale dźwiękowe i ich częstotliwość

Ciekawostką jest, że rozmiar instrumentu jest ściśle powiązany z częstotliwością dźwięku, którą może z siebie wydać. Dokładnie, im mniejszy instrument, tym dla większej częstości go zaprojektowano. Z pewnością udało się nam to kiedyś zaobserwować – skrzypce grające wysokie dźwięki są stosunkowo niewielkie, podczas gdy buczące kontrabasy są już słusznych rozmiarów. A czy zastanawiałeś się kiedyś, w jaki sposób muzycy stroją swoje instrumenty? Być może miałeś okazję przysłuchiwać się towarzyszącemu temu brzdąkaniu.

W tym procesie wykorzystywane jest zjawisko dudnienia. Występuje ono wtedy, gdy jednocześnie docierają do nas dźwięki o zbliżonej częstotliwości. Słyszymy wtedy odgłos, którego częstość jest równa średniej arytmetycznej dochodzących do nas dźwięków. Jednocześnie, jego natężenie (więc i głośność) się zmienia, konkretnie z częstością równą różnicy częstotliwości dźwięków. W zależności od tego, na jakiej zasadzie działa instrument, odpowiednio się reguluje długość fali wydawanego przez niego dźwięku. Przykładowo, w instrumentach strunowych, jak sama nazwa mówi, naciągamy bądź luzujemy struny. Z kolei regulując dźwięk akordeonu czy organów, przesuwamy odpowiednio obciążniki, tak, aby rozkład masy drgających elementów był jak najkorzystniejszy.