Ruch harmoniczny – wahadło fizyczne, torsyjne i matematyczne

Ruch harmoniczny to najczęściej wykorzystywany model do charakteryzowania drgających ciał. Używamy go, gdyż jest stosunkowo prosty w opisie oraz większość ruchów drgających go przypomina. Przyjrzyjmy się klasycznemu przykładowi jego wykorzystania, czyli wahadłu. Jest to ciało, które będąc zawieszone w polu grawitacyjnym, wykonuje drgania wokół poziomej osi. Jednocześnie ta oś nie zawiera jego środka ciężkości. Prawa opisujące ich ruch sformułował Galileusz w 1602 r., a trochę ponad 50 lat później Christian Huygens wykorzystał je w praktyce, konstruując zegar wahadłowy. Urządzenia te umożliwiały najdokładniejszy jak do tej pory pomiar czasu i swoje pierwszeństwo w tej kategorii utrzymały aż do lat 30. ubiegłego wieku. Do wahadeł, które w zakresie małych kątów charakteryzuje ruch harmoniczny, zaliczamy wahadło matematyczne, fizyczne oraz torsyjne.

Ruch harmoniczny – wahadło torsyjne i matematyczne

Wahadło torsyjne jest sprężyste nie dzięki grawitacji, jak ma to miejsce w niżej opisanych przypadkach, lecz dzięki sprężystości ściskanego drutu. Ma ono postać krążka przyczepionego do drutu, a ten z kolei jest przytwierdzony nieruchomo do jakiejś powierzchni. Kiedy obrócimy krążek o pewien kąt w stosunku do położenia spoczynkowego, a potem go puścimy, to zacznie on drgać wokół tego miejsca, jednocześnie wykonując ruch harmoniczny. Kiedy ciężarek się obraca, to powoduje powstanie momentu siły opisanego wzorem M = -κα, gdzie κ (grecka litera kappa) oznacza moment kierujący, a α to kąt wychylenia ciężarka.

Moment kierujący zależy od właściwości druta, między innymi jego długości czy średnicy. Znak minus we wzorze podkreśla, że moment ten ma na celu przywrócenie równowagi układu. Wyrażenia opisujące wahadło torsyjne są analogiczne do tych opisujących bardziej znane wahadła matematyczne i fizyczne, zatem okres jego drgań jest wprost proporcjonalny do pierwiastka z ilorazu jego momentu bezwładności i momentu kierującego. Wahadło matematyczne jest opisane jako ciężarek zawieszony na cienkiej, prawie nieważkiej nitce o określonej długości. Jest ono w istocie szczególnym przypadkiem wahadła fizycznego.

Siły działające na wahadło w ruchu harmonicznym

Kiedy zawieszone ciało się porusza, działają na nie dwie siły – naprężenie linki oraz siła ciężkości. W takim wahadle przyspieszenie jest wprost proporcjonalne do jego przemieszczenia kątowego, z tym że ma przeciwny znak. Co to znaczy? Gdy ciało porusza się w prawo, to jego przyspieszenie skierowane w lewo będzie rosło, aż do momentu, kiedy wahadełko osiągnie maksymalne wychylenie i się zatrzyma. Potem będzie się poruszało w lewo, a przyspieszenie w prawo będzie rosło, i tak w kółko.

Jak zatem będzie wyglądał jego okres drgań? Ponieważ możemy wyróżnić moment bezwładności takiego wahadła, jego okres będzie wprost proporcjonalny do pierwiastka z ilorazu długości nici, na której jest zawieszony ciężarek i przyspieszenia ziemskiego g. Ciekawym jego zastosowaniem jest wahadło Foucaulta. Może się ono wahać w dowolnej płaszczyźnie pionowej, a ona sama zmienia się delikatnie względem Ziemi. Innymi słowy, wahadło będzie się „krzywo” obracać. Dowodzi to ruchu planety wokół jej własnej osi. Jego okres drgań jest ilorazem 24 godzin przez sinus kąta między równikiem a miejscem, gdzie wahadło się znajduje.

Ruch harmoniczny –  wahadło fizyczne i pomiar grawitacji

Wahadło fizyczne to bryła sztywna zawieszona na poziomej osi, wokół której może wykonywać obroty. Na wychylony z położenia równowagi ciężarek będzie zatem działał moment siły zależny od wychylenia. Nigdy nie będzie drgało, jeśli jego środek zawieszenia znajdzie się w środku masy. Okres drgania tego wahadła, podobnie jak matematycznego, jest wprost proporcjonalny do pierwiastka ilorazu długości jego ramienia i przyspieszenia ziemskiego. Ciekawe jest, że wahadło fizyczne można wykorzystać do pomiaru przyspieszenia ziemskiego w poszczególnym miejscu na Ziemi. Dlaczego mielibyśmy je mierzyć sami?

Dlatego, że nie ma ono stałej wartości dla całego globu, a jest zależne między innymi od szerokości geograficznej, czy poziomu morza. Z tego względu swoją najwyższą wartość osiąga w okolicach bieguna północnego. Gdy założymy, że nasze wahadło fizyczne jest prętem unieruchomionym w jednym miejscu, to jego moment bezwładności będzie określał wzór mL2/12, gdzie m oznacza masę wahadła, a L długość jego ramienia. Zgodnie z twierdzeniem Steinera, mówiącym, że moment bezwładności jakiejkolwiek bryły jest równy sumie momentu bezwładności tejże bryły, względem osi przechodzącej przez środek masy oraz iloczynu masy bryły i kwadratu odległości między osiami. Bardziej obrazowo opisuje to wzór: I = I0+md2.

Podstawiając do niego odpowiednie dane, widzimy, że moment bezwładności tak przygotowanego wahadła będzie określony następującą zależnością: mL2/3. Co z tego wynika? Przyspieszenie ziemskie możemy wtedy wyrazić poprzez następujący iloraz: 8π2L/3T2. Pozwala on na całkiem sprawny pomiar tej wartości, choć aby uzyskać bardzo dokładny wynik, należałoby np. umieścić wahadło w próżni. Specjalną odmianą wahadła fizycznego wykorzystywaną właśnie do tego pomiaru jest wahadło rewersyjne. Ma ono dwie równoległe osie zawieszenia, a także umożliwia regulowanie masy, co pozwala dopasować okres drgań. Mam nadzieję, że teraz ruch harmoniczny nie ma już przed wami tajemnic.