Dynamika bryły sztywnej

Bryła sztywna – ciało, którego punkty nie przemieszczają się względem siebie.

W ruchu obrotowym bryły sztywnej każdy punkt bryły zatacza okrąg o środku leżącym na osi obrotu bryły.

Odległość punktu od osi obrotu (oznaczane jako r) - to najkrótszy odcinek łączący punkt i oś obrotu.

bryla1Δm – masa elementarna = punkt materialny
r – odległość punktu od osi obrotu

v1 = ω·r1 … vn = ω·rn

Każdy punkt bryły ma tę samą prędkość kątowa ω i różną prędkość liniową v.

Moment bezwładności – suma iloczynów mas elementarnych i kwadratu ich odległości od osi obrotu, zależna od osi obrotu.

I = Δm1·r1² + Δm2·r2² + ... + Δmn·rn²

bryla-sztywna

[I] = 1 kg·m²

Im dalej jest rozłożona masa bryły od osi obrotu, tym większy jest moment bezwładności.

 

Momenty bezwładności przykładowych brył:
  • kula: I = 2/5·mR²,R – promień kuli
  • sfera: I = 2/3·mR²
  • walec: I = 1/2·mR²
  • rury cienkościennej: I = mR²
  • pręt, którego oś obrotu przechodzi przez środek jego długości: I = 1/12·mL² (L – długość pręta)
  • pręt, którego oś obrotu przechodzi przez jeden z jego końców: I = 1/3·mL²

 


 

 Porównanie ruchu postępowego i ruchu obrotowego

 

Ruch postępowy

Ruch obrotowy

Wzory łączące

m

I

[I] = 1 kg·m²

bryla-sztywna

v

ω

[ω] = 1 rad/s

v = ω × r

Ek = mv²/2

Ek = Iω²/2

a = vk – v0 /t

ε

[ε] = 1 rad/s²

a = ε×r

ε = Δω/Δt

p = m·v

L = I·ω

L – moment pędu

[L] = 1 kg·m²/s

L = r × p

F = m·a

M = I·ε

M – moment siły

[M] = 1 N·m

M = r × F

 


 Zasady dynamiki dla ruchu obrotowego bryły sztywnej

I zasada dynamiki:

Jeżeli wypadkowy moment siły M działający na ciało jest równy zero, to prędkość kątowa ω ciała jest stała lub równa zero.

Uogólnienie I zasady dynamiki:

Jeżeli wypadkowy moment siły M działający na ciało jest równy zero, to moment pędu L ciała jest stały.

II zasada dynamiki Newtona:

Jeżeli wypadkowy moment siły M działający na ciało nie jest równy zero, to ciało porusza się z przyspieszeniem kątowym równym ε = M/I.

Uogólnienie II zasady dynamiki:

Zmiana momentu pędu ciała jest równa

Δk=M·t


Twierdzenie Steinera

I = I0 + md²

I0 – moment bezwładności względem osi przechodzącej przez środek masy
I – moment bezwładności względem osi równoległej do pierwszej osi
d – odległość między osiami
m – masa bryły

twierdzenie-steinera


 

Zasada zachowania momentu pędu

Moment pędu bryły w układzie inercjalnym pozostaje stały, gdy nie działa na nią żaden moment siły zewnętrznej.

Iω = const

I1ω1 = I2ω2

Zasadę wykorzystują np. łyżwiarze robiąc piruet. Gdy łyżwiarka ma rozłożone ręce obraca się powoli, kiedy z kolei składa ręce blisko siebie, obraca się znacząco szybciej. Dzieje się tak dlatego, że moment bezwładności łyżwiarki przy składaniu rąk maleje, musi więc rosnąć prędkość kątowa.

 

Tagged under: , , ,

pobierz z Google Play pobierz z App Store
Back to top